Eine 1971 von dem verstorbenen Mathematiker Ronald Graham gestellte Frage – einst Präsident der American Mathematical Society und zugleich Präsident der International Jugglers' Association – ist endlich beantwortet. Das letzte Beweisstück, von Lisa Sauermann (Universität Bonn) und Huy Tuan Pham (Universität Chicago), erschien im Februar 2026 und umfasst 27 Seiten.
Die Vermutung handelt von Uhrenarithmetik. Man nehme die ganzen Zahlen, wickle sie um ein Zifferblatt, sodass sie sich nach einer Primzahl p wiederholen, und wähle eine beliebige Menge von Zahlen ungleich null. Graham fragte, ob man sie immer so umordnen kann, dass jede Partialsumme – die ersten zwei Zahlen, dann die ersten drei, dann die ersten vier und so weiter – verschieden ist. Einzelne Summen lassen sich leicht kontrollieren; das Problem ist, dass ein langer Block von Zahlen in der Summe null ergeben kann, wodurch sich die laufende Summe wiederholt.
Für positive Mengen und für Mischungen aus positiven und negativen Zahlen auf der unendlichen Zahlengeraden war die Antwort bereits bekannt: ja. Offen war der endliche, umlaufende Fall, in dem Grahams Intuition besagte, dass Flexibilität unter starren Zwängen stets überlebt – dieselbe Intuition, die ein gültiges Sudoku oder lateinisches Quadrat meist auffindbar macht.
Die Lösung kam in vier Arbeiten. Alp Müyesser (Oxford) und Alexey Pokrovskiy (UCL) behandelten Mengen, die fast alle Zahlen bis p abdecken, und veröffentlichten ihre Lösung 2022 in einer allgemeineren Arbeit. Noah Kravitz und Benjamin Bedert, beide in Oxford, griffen das andere Ende an – winzige Mengen – und veröffentlichten ihren Beweis im September 2024. Die Gruppen taten sich zusammen; ihre gemeinsame Arbeit von August 2025 erweiterte den Großmengen-Fall. Doch zwischen kleinem und großem Regime blieb eine Lücke für mittelgroße Mengen, bei denen etwa die Hälfte der Zahlen bis p im Spiel ist; die früheren Methoden versagten dort nachweislich.
Sauermann und Pham, alte Freunde aus Stanford (2015), fanden den fehlenden Ansatz während eines dreitägigen Besuchs in Bonn Ende 2025, nachdem sie zwei Konferenzvorträge zum Problem gehört hatten. Wie ihre Vorgänger beginnen sie mit einer zufälligen Anordnung und reparieren sie dann, indem sie Zahlen austauschen, sobald ein Nullsummen-Block auftaucht. Drei Arten von Fehlereignissen können dieses Verfahren brechen: ein Nullsummen-Block ganz am Ende, bei dem nichts zum Tauschen übrig ist; viele solcher Blöcke dicht beieinander; und eine Reparatur, die weiter hinten einen neuen Nullsummen-Block erzeugt.
Die neue Zutat war Anti-Konzentration: Aussagen darüber, dass eine bestimmte Summe unwahrscheinlich ist. Mithilfe der Fourier-Analyse zeigten die beiden, dass beim Addieren zufälliger Zahlenmengen keine einzelne Summe besonders wahrscheinlich ist, schätzten dann die Wahrscheinlichkeit jedes Fehlereignisses ab und wiesen nach, dass das Gesamtrisiko unter 100 Prozent bleibt. Das Ergebnis ist nicht nur, dass eine gültige Ordnung existiert, sondern dass sich eine zufällige Anordnung mit mindestens 90 Prozent Wahrscheinlichkeit reparieren lässt.
„Ihr Ansatz ist einfach völlig anders“, sagte Müyesser über die letzte Arbeit. Noga Alon aus Princeton verwies auf „die Kraft der Zusammenarbeit, die Kraft der jungen Generation, die Kraft probabilistischer Methoden“.
Zwei Einschränkungen bleiben. Alle vier Arbeiten setzen voraus, dass p sehr groß ist – in der Größenordnung von 10 hoch 100. Für den mathematischen Rahmen ist das in Ordnung, lässt die Vermutung aber für beliebige p formal offen. Und wer damit eine echte Jonglage-Nummer choreografieren möchte, hat Pech: Die nötige Zahl an Bällen und Schlägen machte das Muster viel zu lang. Dennoch, wie Fan Chung, Grahams Ehefrau und Mathematikerin an der UC San Diego, es formulierte: „Ein gutes Problem zu stellen ist wirklich eine Kunst. Ich glaube, Ron wäre außerordentlich glücklich, das Problem gelöst zu sehen.“
