1971'de Amerikan Matematik Derneği'nin eski başkanlarından ve aynı zamanda Uluslararası Jonglörler Birliği'nin başkanlığını yapmış olan merhum matematikçi Ronald Graham'ın ortaya attığı bir soru nihayet yanıtlandı. Kanıtın son halkası, Bonn Üniversitesi'nden Lisa Sauermann ile Chicago Üniversitesi'nden Huy Tuan Pham'a ait ve Şubat 2026'da 27 sayfa olarak yayımlandı.
Sanı, saat aritmetiğiyle ilgili. Tam sayıları alıp bir saat kadranının etrafına sararsınız; sayılar bir p asal sayısından sonra tekrar eder. Sonra sıfır olmayan sayılardan herhangi bir küme seçersiniz. Graham, bu sayıları her zaman öyle yeniden sıralayıp sıralayamayacağınızı sordu ki her kısmi toplam — ilk iki sayı, sonra ilk üç, sonra ilk dört ve böyle devam ederken — farklı olsun. Tek tek toplamları denetlemek kolaydır; asıl sorun, uzun bir sayı bloğunun toplamının sıfır çıkması ve böylece yürüyen toplamın tekrarlanmasıdır.
Pozitif kümelerde ve pozitif ile negatif sayıların karıştığı sonsuz doğru durumunda yanıtın evet olduğu zaten biliniyordu. Açık kalan durum, sonlu ve dairesel sarmalama dünyasıydı; Graham'ın sezgisi, katı kısıtlar altında bile esnekliğin her zaman hayatta kaldığı yönündeydi — geçerli bir Sudoku ya da Latin karesinin genellikle bulunabilmesini sağlayan aynı sezgi.
Çözüm dört makaleyle geldi. Oxford'dan Alp Müyesser ile UCL'den Alexey Pokrovskiy, p'ye kadar neredeyse tüm sayıları kapsayan kümeleri ele aldı ve çözümlerini 2022'de daha genel bir makalenin içinde yayımladı. Oxford'dan Noah Kravitz ile Benjamin Bedert tam karşı uçtan, çok küçük kümelerden yaklaştı ve kanıtlarını Eylül 2024'te yayımladı. İki grup güçlerini birleştirdi; Ağustos 2025 tarihli ortak makaleleri büyük küme durumunu genişletti. Ancak küçük ve büyük rejimler arasında, p'ye kadar olan sayıların kabaca yarısının devrede olduğu orta büyüklükteki kümeler için bir boşluk kaldı; önceki yöntemlerin orada işlemediği biliniyordu.
2015'te Stanford'dan tanışan iki eski dost Sauermann ve Pham, eksik yaklaşımı 2025 sonunda Bonn'daki üç günlük bir ziyaret sırasında, konferansta sorun üzerine verilen iki konuşmayı dinledikten sonra buldu. Selefleri gibi rastgele bir sıralamayla başlıyor, ardından sıfır toplamlı bir blok belirdiğinde sayıları değiştirerek sıralamayı onarıyorlar. Bu onarım sürecini üç tür kötü olay bozabiliyor: en sonda hiçbir sayının takas edilemeyeceği bir sıfır toplamlı blok, bu tür blokların birbirine çok yakın kümelenmesi ve bir onarımın ileride yeni bir sıfır toplamlı blok yaratması.
Yeni bileşen, "yoğunlaşma karşıtlığı"ydı: belirli bir toplamın ortaya çıkma olasılığının düşük olduğunu söyleyen ifadeler. İkili, Fourier analizini kullanarak rastgele sayı kümeleri toplandığında hiçbir toplamın özellikle olası olmadığını gösterdi; ardından her kötü olayın olasılığını sınırlayıp toplam riskin yüzde 100'ün altına düştüğünü kanıtladı. Sonuç yalnızca geçerli bir sıralamanın var olduğu değil, rastgele bir sıralamanın en az yüzde 90 olasılıkla onarılabildiği.
Müyesser son makale için "Yaklaşımları tamamen farklı" dedi. Princeton'dan Noga Alon ise "işbirliğinin gücüne, genç kuşağın gücüne, olasılık yöntemlerinin gücüne" dikkat çekti.
Geriye iki çekince kalıyor. Dört makalenin tamamı p'nin çok büyük — 10 üzeri 100 mertebesinde — olduğunu varsayıyor; bu amaçlanan matematiksel çerçeve için sorun değil ama sanıyı keyfi p için biçimsel olarak açık bırakıyor. Gerçek bir jonglörlük gösterisi kurgulamak isteyenler ise şanssız: gereken top ve vuruş sayısı, deseni sahnelemek için fazlasıyla uzun kılar. Yine de Graham'ın eşi ve UC San Diego'dan matematikçi Fan Chung'un dediği gibi: "İyi bir problem ortaya koymak gerçekten bir sanattır. Ron'un problemi çözülmüş görmekten son derece mutlu olacağını düşünüyorum."
