Yapay zekâ şirketi Anthropic'te çalışan matematikçi Levent Alpöge, X'te yaptığı duyuruda, cebirsel geometrinin en eski açık problemlerinden Jacobian sanısına, yalnızca birkaç hafta önce halka açılan büyük dil modeli Claude Fable 5'i kullanarak bir karşı örnek bulduğunu açıkladı.

Jacobian sanısı, uzaydaki noktaları başka noktalara taşıyan polinom fonksiyonlarla ilgilenir. Matematikçiler böyle bir fonksiyonun ne kadar "düzgün" davrandığını Jacobian determinantını hesaplayarak test eder; bu determinant sabit ve sıfırdan farklıysa fonksiyon hiçbir noktada uzayı katlamaz ya da ezmez. 1884'te Çek matematikçi Ludwig Kraus tarafından iki boyutta ortaya atılan ve 1939'da Alman matematikçi Ott-Heinrich Keller tarafından genelleştirilen sanı, bu tür her fonksiyonun başka bir polinom fonksiyonla tersine çevrilebilmesi gerektiğini öne sürer.

Problem o kadar çekicidir ki Fields Madalyası sahibi Stephen Smale onu 1998'deki "Sonraki Yüzyılın Matematik Problemleri" listesine koydu. Onlarca yıl boyunca Beniamino Segre ve Wolfgang Gröbner gibi ünlü matematikçilerin girişimleri de dahil birçok kanıtlama denemesi yapıldı; hepsi yakından incelendiğinde çöktü. Hesaplamalı doğrulamalar iki boyutlu durumu 100. dereceye kadar doğruladı, ancak genel durum her çabaya direndi.

Alpöge'nin karşı örneği aldatıcı biçimde basit: Sabit Jacobian determinantı -2 olan, birden çok girdi noktasını aynı çıktı noktasına taşıyan ve bu yüzden tersi alınamayan üç boyutlu bir polinom eşleme. Formül tek bir X gönderisine sığacak kadar kısa; bu da diğer matematikçilerin doğrulamasını kolaylaştırdı. Sanının ikiden büyük her boyutta yanlış olduğunu gösterirken, iki boyutlu orijinal versiyon hâlâ açık.

Bu sonuç, OpenAI'in birim uzaklık sanısını çürütmesi ve amatör matematikçi Liam Price'ın Erdős'ün 1196. problemini kanıtlaması da dahil, yapay zekâ destekli matematik atılımları serisinin en yenisi. Ancak Alpöge'nin keşfinin farklı bir tadı var: Zorluk, karmaşık bir inşa ya da uzun bir ispatta değil, doğru özelliklere sahip bir eşlemeyi bulmak için devasa bir polinom eşleme uzayını aramaktaydı. Bu, büyük dil modellerinin beklenmedik matematiksel nesneleri keşfetmede de ispat kurmada olduğu kadar değerli olabileceğini düşündürüyor. Alpöge'nin modele nasıl komut verdiğine dair ayrıntılar henüz kamuya açıklanmadı.

Kaynaklar