Anthropic-Mathematiker widerlegt mit Claude Fable 5 eine 87 Jahre alte Vermutung

Levent Alpöge, ein bei der KI-Firma Anthropic arbeitender Mathematiker, gab auf X bekannt, dass er mithilfe des Unternehmensmodells Claude Fable 5 — erst wenige Wochen zuvor öffentlich veröffentlicht — ein Gegenbeispiel zur Jacobi-Vermutung gefunden hat, einem der ältesten offenen Probleme der algebraischen Geometrie.

Die Jacobi-Vermutung betrifft polynomiale Funktionen, die Punkte im Raum auf andere Punkte abbilden. Mathematiker testen, wie "gutartig" eine solche Funktion ist, indem sie deren Jacobi-Determinante berechnen; ist diese eine konstante Zahl ungleich null, faltet oder zerquetscht die Funktion den Raum an keiner Stelle. Die Vermutung, 1884 vom tschechischen Mathematiker Ludwig Kraus in zwei Dimensionen aufgestellt und 1939 vom deutschen Mathematiker Ott-Heinrich Keller verallgemeinert, besagt, dass jede solche Funktion durch eine weitere polynomiale Funktion umkehrbar sein müsse.

Das Problem ist so faszinierend, dass Fields-Medaillengewinner Stephen Smale es 1998 in seine Liste der "Mathematical Problems for the Next Century" aufnahm. Im Laufe der Jahrzehnte überstand es zahlreiche Beweisversuche — auch von berühmten Mathematikern wie Beniamino Segre und Wolfgang Gröbner —, die alle unter genauer Prüfung scheiterten. Rechnergestützte Checks bestätigten den zweidimensionalen Fall bis zum Grad 100, doch der allgemeine Fall widerstand jeder Anstrengung.

Alpöges Gegenbeispiel ist verblüffend einfach: eine polynomiale Abbildung in drei Dimensionen mit konstanter Jacobi-Determinante -2, die mehrere Eingabepunkte auf denselben Ausgabepunkt abbildet und daher nicht umkehrbar ist. Die Formel passt in einen einzigen X-Post, was es anderen Mathematikern leicht machte, sie zu verifizieren. Sie zeigt, dass die Vermutung in jeder Dimension größer als zwei falsch ist; der ursprüngliche zweidimensionale Fall bleibt offen.

Das Ergebnis ist das jüngste in einer Reihe KI-gestützter Durchbrüche — darunter die Widerlegung der Einheitsdistanz-Vermutung durch OpenAI und der Beweis von Erdős' Problem 1196 durch den Amateurmathematiker Liam Price. Alpöges Entdeckung hat jedoch eine andere Qualität: Die Schwierigkeit lag nicht in einer komplizierten Konstruktion oder einem langen Beweis, sondern in der Suche nach einer Abbildung mit den richtigen Eigenschaften in einem riesigen Suchraum polynomialer Abbildungen. Das deutet darauf hin, dass große Sprachmodelle ebenso wertvoll beim Entdecken unerwarteter mathematischer Objekte sein könnten wie beim Konstruieren von Beweisen. Details darüber, wie Alpöge das Modell aufgefordert hat, wurden bislang nicht veröffentlicht.